Bất đẳng thức Côsi (Cơ bản) Bất đẳng thức Côsi (Cơ bản)
910 10

Bài viết Bất đẳng thức Côsi (Cơ bản)

Bất đẳng thức Côsi (Cơ bản)

Chủ Nhật, 5 tháng 8, 2012

MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC (CƠ BẢN)
CÓ THỂ SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
CÁCH SỬ DỤNG BĐT CÔSI 


Nhắc lại:
* BĐT Côsi áp dụng cho hai số không âm a, b:
\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} (1)
- Cách viết tương đương: a+b \geq 2\sqrt{ab}. (2)
Dấu = xẩy ra khi và chỉ khi a=b.
* Chú ý: Với hai số thực tùy ý a, b, ta có:
- a^2+b^2 \geq 2ab (Vì \Leftrightarrow (a-b)^2 \geq 0.
* Một số kết quả thường dùng:
a+\dfrac{1}{a} \geq 2, \forall a>0.
Thật vậy, vì a>0 nên \dfrac{1}{a}>0. Áp dụng BĐT (2) cho hai số này ta được:
a+\dfrac{1}{a} \geq 2.\sqrt{a.\dfrac{1}{a}} = 2.
\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \geq 2, \, \forall a, b, a.b>0.
Thật vậy, vì a.b>0 nên \dfrac{a}{b}>0, \, \dfrac{b}{a}>0. Áp dụng BĐT (2) cho hai số này ta được:
\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \geq 2.\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2.
————————————
MỘT SỐ BÀI TẬP
Bài 1: Bài toán thuận.
Chứng minh rằng với mọi x>1 ta có: 4x-5+\dfrac{1}{x-1} \geq 3.
Dấu đẳng thức (dấu bằng) xảy ra khi nào ?
Hướng dẫn:
Trong bài toán này có chứa hai số hạng dạng nghịc đảo. Vì đã có số hạng \dfrac{1}{x-1} nên phần còn lại phải biểu diễn thành thừa số của x-1. Vậy ta phải viết lại vế trái như sau:
4x-5+\dfrac{1}{x-1}=4(x-1)+\dfrac{1}{x-1} -1 (*)
Vì x>1 nên x-1>0.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi (2) cho 2 số dương 4(x-1), \, \dfrac{1}{x-1}, ta có:
4(x-1)+\dfrac{1}{x-1} \geq 2\sqrt{4(x-1)\dfrac{1}{x-1}}
Hay 4(x-1)+\dfrac{1}{x-1} \geq 2\sqrt{4}=4. (**)
Kết hợp với (*), suy ra:
4x-5+\dfrac{1}{x-1} \geq 4-1 =3.
Vậy 4x-5+\dfrac{1}{x-1} \geq 3 (đpcm)
Theo (**), dấu đẳng thức xảy ra \Leftrightarrow 4(x-1)=\dfrac{1}{x-1}
\Leftrightarrow 4(x-1)^2=1 \Leftrightarrow (x-1)^2=\dfrac{1}{4}
\Leftrightarrow x-1=\dfrac{1}{2} (do x-1>0)
\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}.
——-
Bài 2: Bài toán ngược của dạng Bài toán 1.
Chứng minh rằng (x-1)(5-x) \leq 4, \, \forall x\in [1; 5]
Hướng dẫn:
Khác với bài 1, vế trái bài này có dạng tích, nên ta cần chú ý một dạng tương đường của BĐT (1) là (\dfrac{a+b}{2})^2 \geq ab. (3)
Quay lại bài tập này, với mọi x\in [1; 5] thì x-1 \geq 0, \, 5-x \geq 0. Vậy áp dụng BĐT (3) cho hai số không âm này ta có:
(\dfrac{x-1+5-x}{2})^2 \geq (x-1)(5-x)
\Leftrightarrow 4 \geq (x-1)(5-x). (đpcm)
Dấu “=” xảy ra \Leftrightarrow x-1=5-x \Leftrightarrow x=3.
——————
BÀI TẬP TỰ GIẢI.
Chứng minh rằng:
1. 4-3x+\dfrac{4}{1-3x} \geq 7, \, \forall x<\dfrac{1}{3}.
2. 1-3x+\dfrac{3}{2-x} \geq 1, \, \forall x<2
3. Với mọi góc 0^o < \alpha < 90^o, ta có: \tan\alpha + \cot\alpha \geq 2.
4. (3-x)(2+x) \leq \dfrac{25}{4}, \, \forall x\in [-2; 3].
5. (2-x).(1+2x) \leq \dfrac{25}{8}, \, \forall x\in [-\dfrac{1}{2}; 2].
—————


Từ khóa:
Bình Luận: